Формула Гаусса-Остроградского
40,18 Kb. Дата конвертации 16.07.2012 Размер 40,18 Kb. Тип );Добавить документ в свой блог или на сайт Смотрите также: Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того Программа вступительных экзаменов в аспирантуру кафедра прикладной математики и компьютерного Закон Остроградского-Гаусса Жизнь М. В. Остроградского Случай кратных интегралов Формула Гаусса Остроградского Вывод уравнения Эйлера Остроградского Примеры интеграл Дирихле интеграл Теорема Остроградского Гаусса Теорема Гаусса Остроградского Теорема Остроградского Гаусса и её применение Лекция 7 Формула Гаусса-Остроградского Формула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул в векторном анализе. Она связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с напряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности. Для векотрного поля : , причем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по поверхности через внешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен «наружу»). Правую часть формулы можно переписать в виде: , где – дивергенция векторного поля , – оператор Гамильтона (набла). Формула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия. Во-первых, поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в любой ее точке можно провести касательную плоскость (поверхность задается дифференцируемыми функциями) и двусторонней (направление нормали при движении вдоль поверхности сохраняется. Во-вторых, векторное поле должно быть таким, что функции и их частные производные по x , y и z непрерывны в области V . Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского. З апишем выражение для вектора нормали: , где – углы, x y z α β γ которые вектор нормали составляет с осями координат. . Отсюда Кроме того, имеет место следующая формула: Доказательство формулы (1 вариант): Представим векторное поле в виде суммы векторных полей: , где , найдем потоки этих векторных полей по отдельности, а затем сложим их. Рассмотрим сначала случай поля . Замкнутая поверхность является цилиндроидом, ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном виде: (снизу) и z x y S 2 D S 1 z=z 1 (x,y) S 3 z=z 2 (x,y) (сверху). Поверхность S состоит из нижней S 1 , боковой S 2 и верхней S 3 поверхностей. Рассмотрим поверхностный интеграл по S 1 . D – проекция S 1 на плоскость xy. Координаты вектора нормали: . Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то в формуле для нужно выбрать знак «+». . Д D ифференциал поверхности равен: Отсюда Интеграл по боковой поверхности S 2 . Вектор нормали , так как нормаль параллельна плоскости xy . . Какая бы ни была боковая поверхность, интеграл по ней равен нулю: И нтеграл по поверхности S 3 Рассматривается аналогично интегралу по поверхности S 1 с той разницей, что вектор нормали направлен в противоположную сторону – вверх: . Скалярное произведение на вектор нормали: , дифференциал поверхности: Сложим интегралы по поверхностям S 1 , S 2 и S 3 : Рассмотрим тройной интеграл по объему V : Таким образом, для векторного поля формула Гаусса-Остроградского доказана. Аналогично доказывается формула, если взять поле , и в качестве замкнутой поверхности взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси y . (доказывается аналогично) Аналогично и для поля : Если взять поле , то – формула Гаусса-Остроградского в общем виде верна. П ри доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может быть представлена как цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x , y или z . Такой поверхностью является прямоугольный параллелепипед. Если рассмотреть произвольную поверхность, то справедливость формулы не очевидна. Разобьем произвольную поверхность на две – S 1 и S 2 . Проинтегрируем векторное поле по каждой поверхности и сложим. Получатся интегралы по S 1 , S 2 и два интеграла по сечению. Интегралы по сечению отличаются только знаком (так как векторы нормалей направлены в разные стороны), они уничтожаются при сложении. Поэтому поверхность можно разбивать на части, интегрировать по ним, результаты складывать. П роизведем сечение замкнутой поверхности большим числом перпендикулярных плоскостей. Формула Гаусса-Остроградского будет верна всюду, кроме границ поверхности, на границах становится справедливой при устремлении диаметра разбиения к нулю. Отсюда следует, что формула Гаусса-Остроградского справедлива для любой кусочно-гладкой поверхности. Пример. В качестве поля возьмем радиус-вектор: , S – сфера радиуса R с центром в начале координат. Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского: Формула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениям первообразной на границах отрезка. Формула Гаусса-Остроградского представляет собой, по существу, то же самое (вместо отрезка – объем, вместо границ отрезка – замкнутая поверхность). Эту формулу, как и формулу Грина, можно считать обобщением формулы Ньютона-Лейбница. плохо не очень плохо средне хорошо отлично Ваша оценка этого документа будет первой. Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте:
База данных защищена авторским правом exdat 2000-2012
source
Комментариев нет:
Отправить комментарий